2019一級(jí)結(jié)構(gòu)工程師《鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)》講義：第六章第四節(jié)

6.4 偏心受壓長(zhǎng)柱的二階彎矩

6.4.1 偏心受壓構(gòu)件縱向彎曲引起的二階彎矩

縱向彎曲引起的二階彎矩隨著構(gòu)件兩端彎矩的不同而不同，可分為三種情況：

1.構(gòu)件兩端作用有相等的端彎矩情況(M0= Nei)

圖 6-17 兩端彎矩相等時(shí)的二階彎矩

(1) 構(gòu)件上任一點(diǎn)的彎矩 M

M = M0 + Ny = Nei + Ny

式中 Nei —— 一階彎矩;

Ny —— 由縱向彎曲引起的二階彎矩。

(2) 構(gòu)件上的最大撓度或最大彎矩 Mmax

最大撓度或最大彎矩均發(fā)生在柱的中點(diǎn)。令 f 為最大彎矩 Mmax 點(diǎn)的撓度，則有

Mmax = Nei + N f

顯然，N f是偏心受壓構(gòu)件上由縱向彎曲引起的最大的二階彎矩(以下簡(jiǎn)稱二 階彎矩)

(3) 臨界截面(或稱最危險(xiǎn)截面)

承受 N 和 Mmax 作用的截面。設(shè)計(jì)時(shí)取臨界截面上的內(nèi)力為內(nèi)力控制值。

(4) 特點(diǎn)

一階彎矩最大處與二階彎矩最大處相重合，一階彎矩增加的最多，即臨界截面上的彎矩最大。

2.兩個(gè)端彎矩不相等但符號(hào)相同的情況 (M2> M1)

圖 6-18 兩端彎矩不等時(shí)的二階彎矩

(1) 構(gòu)件上的最大撓度或最大彎矩 Mmax

最大撓度或最大彎矩均發(fā)生在離端部的某一距離處。

Mmax = M0 + N f

(2) 特點(diǎn)

一階彎矩最大處與二階彎矩最大處不重合，由于 M0 < M2，所以臨界截面上的彎矩Mmax要比兩端彎矩相等時(shí)的小，即二階彎矩對(duì)桿件的影響有所降低?？梢宰C明，隨著 M2 和 M1 相差越大，桿件中臨界截面上的彎矩Mmax 越小，即二階彎矩對(duì)桿件的影響越小。

3.兩端彎矩不相等而符號(hào)相反的情況(M2= Ne0 , M1= -Ne1) 圖6—19

圖 6-19 兩端彎矩不相等而符號(hào)相反時(shí)的二階彎矩

(1) 構(gòu)件上的最大撓度或最大彎矩 Mmax

最大撓度在離端部的某一距離處;而最大彎矩Mmax = M0 + N f有兩種可能的分布：

1)發(fā)生在柱端

Mmax = M2

即二階彎矩的存在并不引起一階彎矩的任何增加。

2)發(fā)生在離端部的某一距離處

Mmax = M0 + N f

由于 M0 < M2較多，所以一階彎矩將增加很少，Mmax 比M2 稍大。

(2) 特點(diǎn)

沿構(gòu)件產(chǎn)生一個(gè)反彎點(diǎn)，一階彎矩最大處與二階彎矩最大處不重合，一階彎矩將增加很少或可能不增加。

6.4.2 結(jié)構(gòu)有側(cè)移時(shí)偏心受壓構(gòu)件的二階彎矩

上述二階彎矩分布的規(guī)律，僅適用于沒有水平側(cè)移或水平側(cè)移可忽略不計(jì)的結(jié)構(gòu)中的偏心受壓構(gòu)件，即指偏心受壓構(gòu)件的兩端沒有發(fā)生相對(duì)位移的情況。當(dāng)結(jié)構(gòu)有側(cè)移且同一樓層所有柱的側(cè)移相等(詳見下冊(cè)第14章)時(shí)，由于結(jié)構(gòu)的側(cè)移使偏心受壓構(gòu)件的撓曲線發(fā)生了變化，其二階彎矩分布規(guī)律也發(fā)生了變化。

現(xiàn)以結(jié)構(gòu)力學(xué)中的簡(jiǎn)單剛架為例進(jìn)行說明，如圖6-20(a)所示。該剛架承受水平荷載F和壓力N。在沒有壓力N作用時(shí)由F單獨(dú)引起的側(cè)移和一階彎矩如圖6-20(a)、(b)所示，相應(yīng)的框架變形用虛線給出;當(dāng)N作用時(shí)，產(chǎn)生了側(cè)移和桿件變形增大，其變形用實(shí)線表示，框架的總側(cè)移△和二階彎矩如圖6-20(a)、(c)所示，此時(shí)二階彎矩為結(jié)構(gòu)側(cè)移和桿件變形所產(chǎn)生的附加彎矩的總和?？梢钥闯?，最大的一階彎矩和二階彎矩均在柱端且符號(hào)相同，此時(shí)臨界截面上的彎矩為一階彎矩與二階彎矩之和。

應(yīng)該指出，框架形狀的不對(duì)稱、豎向荷載的不對(duì)稱或兩者都不對(duì)稱等情況都會(huì)使框架產(chǎn)生側(cè)移。在這種情況下，柱軸向壓力N的存在也會(huì)產(chǎn)生與前相同的撓度和彎矩的增大。因此各類結(jié)構(gòu)的偏心受壓構(gòu)件正截面承載力計(jì)算，當(dāng)二階彎矩不可忽略時(shí)，均應(yīng)考慮結(jié)構(gòu)側(cè)移和構(gòu)件縱向彎曲變形引起的二階彎矩。

6.4.3 偏心距增大系數(shù)η

1. 二階彎矩影響的考慮方法

我國《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》對(duì)長(zhǎng)細(xì)比 lo/i較大的偏心受壓構(gòu)件，采用把初始偏心距ei值乘以一個(gè)偏心距增大系數(shù)η來近似考慮二階彎矩的影響。即

ei + f =(1+f/ei)ei = ηei (6-12)

ei = e0 + ea

式中 f ── 長(zhǎng)柱縱向彎曲后產(chǎn)生側(cè)向最大撓度值;

η—— 考慮二階彎矩影響的偏心距增大系數(shù);

ei ── 初始偏心矩;

e0 ── 軸向力對(duì)截面重心的偏心矩，e0 = M/N;

ea ── 附加偏心矩，取偏心方向截面尺寸的1/30和20mm中的較大者;

附加偏心距 ea 是考慮荷載作用位置的不定性、混凝土質(zhì)量的不均勻性和施工誤差等因素的綜合影響。

2. η值計(jì)算公式(η—l0法)

η= 1+(l0/ h)2ζ1ζ2/1400(ei/ h0) (6-20)

式中 l0 ── 構(gòu)件的計(jì)算長(zhǎng)度;

h ── 偏心方向截面尺寸，圓形截面取直徑d;環(huán)形截面取外直徑D;

h0 ── 截面的有效高度;

ζ1 ── 偏心受壓構(gòu)件截面曲率修正系數(shù);

ζ1 = 0.5fcA/N (6-17)

當(dāng)ζ1> 1.0時(shí)，取ζ1 = 1.0

ζ2 ── 偏心受壓構(gòu)件長(zhǎng)細(xì)比對(duì)截面曲率的影響系數(shù);

當(dāng) l0/h<15時(shí)， ζ2 = 1.0

當(dāng) l0/h=15～30時(shí)，ζ2=1.15-0.01 l0/h

A ── 構(gòu)件的截面面積， A = bh + (bfˊ-b)hfˊ