2018年一級結(jié)構(gòu)工程師《理論力學(xué)》重點(diǎn)：剛體力學(xué)

剛體力學(xué)

一、基本概念和整體認(rèn)識

1，剛體：特殊質(zhì)點(diǎn)組，任意兩質(zhì)點(diǎn)的距離保持不變，類似于質(zhì)點(diǎn)是一種理想情況，相對于所研究的問題，當(dāng)物體的大小和形狀的變化，可以忽視時(shí)，則物體可當(dāng)做剛體。

2，剛體空間位置的確定，只需確定不共線的三點(diǎn)位置坐標(biāo)，但由于任意兩點(diǎn)的位置不變，受到三個(gè)約束，所以只需6個(gè)即可

3，剛體運(yùn)動(dòng)的分類 根據(jù)運(yùn)動(dòng)時(shí)的限制，需要的獨(dú)立變量數(shù)可少于6個(gè)，

根據(jù)限制的不同，把剛體的運(yùn)動(dòng)分為：

(1) 平動(dòng)：任意兩質(zhì)點(diǎn)的聯(lián)線在任意兩個(gè)不同的時(shí)刻，都保持平行，各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況完全相同，所以任意一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)即可代表整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)，顯然只需3個(gè)獨(dú)立變量

(2) 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終有兩點(diǎn)不動(dòng)的運(yùn)動(dòng)，該兩點(diǎn)的連線即為固定的轉(zhuǎn)動(dòng)軸，只需確定剛體繞該定軸轉(zhuǎn)過多少度，所以只需一個(gè)獨(dú)立變量

(3) 平面平行運(yùn)動(dòng)：剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終與一固定平面平行的運(yùn)動(dòng)，可分解為質(zhì)心的平面平動(dòng)和繞統(tǒng)過質(zhì)心并垂直于該平面的轉(zhuǎn)動(dòng)(由軸線取向不變，所以相當(dāng)于一定轉(zhuǎn)動(dòng))，因而需要3個(gè)獨(dú)立變量

(4) 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，只有一個(gè)點(diǎn)不動(dòng)，剛體只能繞通過這個(gè)點(diǎn)的軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，顯然軸線的取向是可以不斷發(fā)生變化的，確定軸線的空間取向(三個(gè)方向余旋，但三方向余旋平方和為1)，所以只需兩個(gè)獨(dú)立變量，但還需一個(gè)變量來確定繞軸線轉(zhuǎn)過的角度，因此總共需三個(gè)獨(dú)立變量。通常用三個(gè)獨(dú)立的歐拉角來描述，即進(jìn)動(dòng)角

(5) 一般運(yùn)動(dòng)：不受任何約束，一般分解為質(zhì)心的平動(dòng)和繞質(zhì)心的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，因而需6個(gè)獨(dú)立變量。

1， 描述剛體運(yùn)動(dòng)，最基本的物理量是角速度，即描述剛體繞某個(gè)點(diǎn)和軸線轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢，是一矢量(相應(yīng)于無限小轉(zhuǎn)動(dòng)，無限小轉(zhuǎn)動(dòng)是可對易的(交換先后兩次的轉(zhuǎn)動(dòng)順序，結(jié)果不 變)，而有限轉(zhuǎn)動(dòng)是不可對易的) ，方向用右手螺旋法則來確定。

2， 剛體的歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，把角速度(注意是狀態(tài)量)投影到固連在剛體上隨剛體一塊運(yùn)動(dòng)的隨動(dòng)坐標(biāo)系上(只做為計(jì)算的工具，在后面的剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)學(xué)和剛體的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)，及非慣性系運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)，都常常這么做)，但運(yùn)動(dòng)參照系仍是地球，而得其分量式，描述了角速度分量隨歐拉角及時(shí)間之間的變化關(guān)系

一、 剛體的運(yùn)動(dòng)方程與平衡方程

1、 力系的簡化

由于剛體受力可能紛繁復(fù)雜，所以首先要對剛體的力系進(jìn)行簡化

1) I，非平行共面力系的簡化

應(yīng)用的基本原理是力的可傳性原理，力可沿作用線滑移而不改變作用效果(但作用線不能隨便移動(dòng))。所以可以采用兩兩相交的辦法求得非平行共面力系的合力

II，平行共面力系的簡化，采用合力對垂直于該平面的某一軸線的力矩與所有平行力對該軸線的力矩之代數(shù)和相等，來求得合力大小和作用點(diǎn)

平面平行力系中存在一特殊情況，即由一對對大小相等，方向相方的平行力所組成，其中的任何一對平行力，我們稱為力偶，其唯一的作用效果是產(chǎn)生力偶矩，垂直于該平面，但作用點(diǎn)不固定，稱為自由矢量

大?。浩渲幸涣Τ艘粤ε急?兩平行力的距離)

方向：右手螺旋法則

也等于其中一力對另一個(gè)力作用點(diǎn)的力矩

這樣的平面平行力，可簡化為一合力偶，可能是零，可能不是零

2) 空間力系的簡化

共點(diǎn)力系和平行力系的簡化，與平面情況類似，關(guān)鍵是既不平行也不共面的力系：

利用力偶的知識，我們可根據(jù)問題的方便，選擇一簡化中心(通常是質(zhì)心)，于是剛體上任意一力可以遷移到該點(diǎn)，為了消除遷移的影響(移動(dòng)了作用線)，必須加上一力偶，即加上未遷移前，該力對簡化中心的力矩。因而所有力遷移到簡化中心后，就有一合力和合力矩，我們稱為主矢(作用效果使剛體平動(dòng))和主矩(作用效果使剛體繞通過簡化中心的軸線轉(zhuǎn)動(dòng))。顯然簡化中心不一樣，主矢不變，主矩一般要改變，但顯然不能因?yàn)槿藶檫x擇的簡化中心的不同而改變剛體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

2， 剛體的運(yùn)動(dòng)微分方程

根據(jù)前面的分析，剛體的運(yùn)動(dòng)一般分解為質(zhì)心的平動(dòng)和繞質(zhì)心的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，因此質(zhì)心為簡化中心，力系簡化為一主矢和一主矩，我們利用質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)定理處理質(zhì)心的平動(dòng)和應(yīng)用對質(zhì)心的角動(dòng)量定理處理繞質(zhì)心的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)即可處理剛體的一般運(yùn)動(dòng)。

注意對軸線的力矩和角動(dòng)量，一定是先求對點(diǎn)的力矩和角動(dòng)量，再投影到該軸線上來做的;若對另外兩坐標(biāo)軸沒有力矩(共面力系，平面運(yùn)動(dòng))，則此時(shí)對點(diǎn)和對軸線的力矩相等。

3、 剛體的平衡方程

以任意點(diǎn)為簡化中心顯然要求主矢為零，主矩為零

三 、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

1， 剛體的角動(dòng)量和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能

2， 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

3， 慣量張量和慣量橢球， 慣量主軸及求法

四， 剛體的平動(dòng)和繞固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)

明確平動(dòng)(3個(gè)獨(dú)立變量)與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)(1個(gè)獨(dú)立變量)的概念

注意是對軸線上某點(diǎn)的角動(dòng)量定理，在轉(zhuǎn)軸上的投影，所以是標(biāo)量式，應(yīng)用該式解決動(dòng)力學(xué)問題，需解決兩個(gè)問題

I， 剛體對定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

II， 所有外力對定軸力矩之代數(shù)和

前面講過，對力對軸的力矩一定是先求得對軸線上某點(diǎn)的力矩，然后再往該軸線投影而得，看起來很麻煩，實(shí)則不然。我們所遇到的情況，基本都是共面力系的情形(包括后面的平面平行運(yùn)動(dòng))，所以所有外力對轉(zhuǎn)軸的力矩等于對轉(zhuǎn)軸與該面的交點(diǎn)的力矩(經(jīng)過交點(diǎn)的力，如約束反力，對該點(diǎn)則無力矩)，因而大小就等于該力乘以交點(diǎn)到力的作用線的垂直距離，方向用右手螺旋法則判斷，要特別強(qiáng)調(diào)正負(fù)的取法，與平衡問題不同，這里是先確定角位移，再根據(jù)右手螺旋法則確定力矩的正方向。從而求得個(gè)外力對軸線與平面交點(diǎn)的力矩之代數(shù)和

若剛體所受的外力中，只有保守力做功，則機(jī)械能守恒，該類問題也可結(jié)合機(jī)械能守恒定律來求解

1) 軸承上的附加壓力(通常是非共面力系)

應(yīng)用動(dòng)量定理和對軸花上某點(diǎn)的角動(dòng)量定理求解

若要使剛體處于動(dòng)平衡，即轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)使剛體所受的軸承施加的作用力與靜止時(shí)相等，則要求剛體的轉(zhuǎn)軸為慣量主軸，且質(zhì)心在轉(zhuǎn)軸上，所以制造和安裝機(jī)器的轉(zhuǎn)動(dòng)部分時(shí)需要盡可能滿足上述兩條件，否則附加雜軸承上的壓力會產(chǎn)生很大的破壞作用。

五， (重點(diǎn)考查)剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)(需3個(gè)獨(dú)立變量)

明確概念，由于剛體做平面平行運(yùn)動(dòng)時(shí)始終與某一固定平面平行，因此截取一平行于該固定平面的薄片做為代表，即可研究剛體平面平行運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)(動(dòng)力學(xué)要求是通過質(zhì)心的薄片)

六、剛體的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)(3個(gè)獨(dú)立變量)

明確概念

空間極面：剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸在靜止坐標(biāo)系所描出的錐面

本體極面：剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸相對于剛體自身所描出的錐面