國家公務員考試行測:排列組合解題方法
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國家公務員考試行測:排列組合解題方法
一、捆綁法
精要：所謂捆綁法，指在解決對于某幾個元素要求相鄰的問題時，先整體考慮，將相鄰元素視作一個整體參與排序，然后再單獨考慮這個整體內(nèi)部各元素間順序。
提醒：其首要特點是相鄰，其次捆綁法一般都應用在不同物體的排序問題中。
【例題】有10本不同的書：其中數(shù)學書4本，外語書3本，語文書3本。若將這些書排成一列放在書架上，讓數(shù)學書排在一起，外語書也恰好排在一起的排法共有( )種。
解析：這是一個排序問題，書本之間是不同的，其中要求數(shù)學書和外語書都各自在一起。為快速解決這個問題，先將4本數(shù)學書看做一個元素，將3本外語書看做一個元素，然后和剩下的3本語文書共5個元素進行統(tǒng)一排序，方法數(shù)為，然后排在一起的4本數(shù)學書之間順序不同也對應最后整個排序不同，所以在4本書內(nèi)部也需要排序，方法數(shù)為，同理，外語書排序方法數(shù)為。而三者之間是分步過程，故而用乘法原理得。
【例題】5個人站成一排，要求甲乙兩人站在一起，有多少種方法?
解析：先將甲乙兩人看成1個人，與剩下的3個人一起排列，方法數(shù)為，然后甲乙兩個人也有順序要求，方法數(shù)為，因此站隊方法數(shù)為。
【練習】一臺晚會上有6個演唱節(jié)目和4個舞蹈節(jié)目，4個舞蹈節(jié)目要排在一起，有多少不同的安排節(jié)目的順序?
注釋：運用捆綁法時，一定要注意捆綁起來的整體內(nèi)部是否存在順序的要求，有的題目有順序的要求，有的則沒有。如下面的例題。
【例題】6個不同的球放到5個不同的盒子中，要求每個盒子至少放一個球，一共有多少種方法?
解析：按照題意，顯然是2個球放到其中一個盒子，另外4個球分別放到4個盒子中，因此方法是先從6個球中挑出2個球作為一個整體放到一個盒子中，然后這個整體和剩下的4個球分別排列放到5個盒子中，故方法數(shù)是。
二、插空法
精要：所謂插空法，指在解決對于某幾個元素要求不相鄰的問題時，先將其它元素排好，再將指定的不相鄰的元素插入已排好元素的間隙或兩端位置。
提醒：首要特點是不鄰，其次是插空法一般應用在排序問題中。
【例題】若有A、B、C、D、E五個人排隊，要求A和B兩個人必須不站在一起，則有多少排隊方法?
解析：題中要求AB兩人不站在一起，所以可以先將除A和B之外的3個人排成一排，方法數(shù)為，然后再將A和B分別插入到其余3個人排隊所形成的4個空中，也就是從4個空中挑出兩個并排上兩個人，其方法數(shù)為，因此總方法數(shù)。
【例題】8個人排成一隊，要求甲乙必須相鄰且與丙不相鄰，有多少種方法?
解析：甲乙相鄰，可以捆綁看作一個元素，但這個整體元素又和丙不相鄰，所以先不排這個甲乙丙，而是排剩下的5個人，方法數(shù)為，然后再將甲乙構成的整體元素及丙這兩個元素插入到此前5人所形成的6個空里，方法數(shù)為，另外甲乙兩個人內(nèi)部還存在排序要求為。故總方法數(shù)為。
【練習】5個男生3個女生排成一排，要求女生不能相鄰，有多少種方法?
注釋：將要求不相鄰元素插入排好元素時，要注釋是否能夠插入兩端位置。
【例題】若有A、B、C、D、E五個人排隊，要求A和B兩個人必須不站在一起，且A和B不能站在兩端，則有多少排隊方法?
解析：原理同前，也是先排好C、D、E三個人，然后將A、B查到C、D、E所形成的兩個空中，因為A、B不站兩端，所以只有兩個空可選，方法總數(shù)為。
注釋：對于捆綁法和插空法的區(qū)別，可簡單記為“相鄰問題捆綁法，不鄰問題插空法”。
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三、插板法
精要：所謂插板法，指在解決若干相同元素分組，要求每組至少一個元素時，采用將比所需分組數(shù)目少1的板插入元素之間形成分組的解題策略。
提醒：其首要特點是元素相同，其次是每組至少含有一個元素，一般用于組合問題中。
【例題】將8個完全相同的球放到3個不同的盒子中，要求每個盒子至少放一個球，一共有多少種方法?
解析：解決這道問題只需要將8個球分成三組，然后依次將每一組分別放到一個盒子中即可。因此問題只需要把8個球分成三組即可，于是可以講8個球排成一排，然后用兩個板查到8個球所形成的空里，即可順利的把8個球分成三組。其中第一個板前面的球放到第一個盒子中，第一個板和第二個板之間的球放到第二個盒子中，第二個板后面的球放到第三個盒子中去。因為每個盒子至少放一個球，因此兩個板不能放在同一個空里且板不能放在兩端，于是其放板的方法數(shù)是。(板也是無區(qū)別的)
【例題】有9顆相同的糖，每天至少吃1顆，要4天吃完，有多少種吃法?
解析：原理同上，只需要用3個板插入到9顆糖形成的8個內(nèi)部空隙，將9顆糖分成4組且每組數(shù)目不少于1即可。因而3個板互不相鄰，其方法數(shù)為。
【練習】現(xiàn)有10個完全相同的籃球全部分給7個班級，每班至少1個球，問共有多少種不同的分法?
注釋：每組允許有零個元素時也可以用插板法，其原理不同，注意下題解法的區(qū)別。
【例題】將8個完全相同的球放到3個不同的盒子中，一共有多少種方法?
解析：此題中沒有要求每個盒子中至少放一個球，因此其解法不同于上面的插板法，但仍舊是插入2個板，分成三組。但在分組的過程中，允許兩塊板之間沒有球。其考慮思維為插入兩塊板后，與原來的8個球一共10個元素。所有方法數(shù)實際是這10個元素的一個隊列，但因為球之間無差別，板之間無差別，所以方法數(shù)實際為從10個元素所占的10個位置中挑2個位置放上2個板，其余位置全部放球即可。因此方法數(shù)為。
注釋：特別注意插板法與捆綁法、插空法的區(qū)別之處在于其元素是相同的。
四、具體應用
【例題】一條馬路上有編號為1、2、……、9的九盞路燈，現(xiàn)為了節(jié)約用電，要將其中的三盞關掉，但不能同時關掉相鄰的兩盞或三盞，則所有不同的關燈方法有多少種?
解析：要關掉9盞燈中的3盞，但要求相鄰的燈不能關閉，因此可以先將要關掉的3盞燈拿出來，這樣還剩6盞燈，現(xiàn)在只需把準備關閉的3盞燈插入到亮著的6盞燈所形成的空隙之間即可。6盞燈的內(nèi)部及兩端共有7個空，故方法數(shù)為。
【例題】一條馬路的兩邊各立著10盞電燈，現(xiàn)在為了節(jié)省用電，決定每邊關掉3盞，但為了安全，道路起點和終點兩邊的燈必須是亮的，而且任意一邊不能連續(xù)關掉兩盞。問總共可以有多少總方案?
A、120B、320C、400D、420
解析：考慮一側的關燈方法，10盞燈關掉3盞，還剩7盞，因為兩端的燈不能關，表示3盞關掉的燈只能插在7盞燈形成的6個內(nèi)部空隙中，而不能放在兩端，故方法數(shù)為，總方法數(shù)為。
注釋：因為兩邊關掉的種數(shù)肯定是一樣的(因為兩邊是同等地位)，而且總的種數(shù)是一邊的種數(shù)乘以另一邊的種數(shù)，因此關的方案數(shù)一定是個平方數(shù)，只有C符合。
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